פתרון לבעיית שלושת הגופים הכאוטיים

בעיית שלושת הגופים היא אחת הבעיות הוותיקות בפיזיקה: היא נוגעת לתנועתן של מערכות עם שלושה גופים – לדוגמה המערכת הכוללת את השמש, כדור הארץ והירח. כיצד מסלול תנועתם של שלושה גופים במערכת כזאת משתנה ומתפתח בשל כוח הכבידה ההדדי שלהם? בעיה זו עומדת במוקד החקירה המדעית מאז ניוטון.

פרופ’ חגי פרץ ויונדב ברי גינת

כאשר גוף מסיבי אחד מתקרב לגוף אחר, מסלול תנועתם נגזר ממשיכתם ההדדית הנובעת מכוח הכבידה שלהם; ככל שהם ממשיכים לנוע ומשנים את מיקומם לאורך מסלוליהם, הכוחות ביניהם משתנים גם הם, ואלה משפיעים על מסלוליהם וכך הלאה.

כשיש במערכת שני גופים (לדוגמה, כדור הארץ הנע סביב השמש ללא השפעתם של גופים אחרים), מסלול כדור הארץ ינוע בהתמדה בעקומה ספציפית מאוד, שאפשר לתארה במדויק באופן מתמטי (אליפסה). כאשר מוסיפים גוף שלישי נוצרות אינטראקציות מורכבות הרבה יותר; המערכת הופכת כאוטית ובלתי צפויה ואי אפשר לחזות בצורה פשוטה את התפתחותה לפרקי זמן ארוכים. תופעה זו ידועה אמנם כבר יותר מ-400 שנים, מאז ניוטון וקפלר, אולם אין עדיין תיאור מתמטי מסודר של בעיית שלושת הגופים.

פיזיקאים רבים ובהם ניוטון עצמו ניסו לפתור את בעיית שלושת הגופים. אוסקר השני מלך שוודיה אף הציע בשנת 1889, לרגל יום הולדתו ה-60, פרס למי שיוכל למצוא פתרון כללי. בסופו של דבר היה זה המתמטיקאי הצרפתי אנרי פואנקרה שזכה בתחרות. הוא ניפץ כל תקווה לפתרון מלא בכך שהוכיח שאינטראקציות מעין אלו הן כאוטיות, כלומר שהתוצאה הסופית אקראית מיסודה. למעשה, ממצאיו פתחו תחום מחקר מדעי חדש בשם תורת הכאוס.

המשמעות של היעדר פתרון לבעיית שלושת הגופים היא שהמדענים אינם יכולים לחזות מה קורה במהלך אינטראקציה קרובה בין מערכת בינארית (המורכבת משני כוכבים שנעים במסלול זה ביחס לזה, כמו כדור הארץ והשמש), וכוכב שלישי, אלא רק על ידי עריכת סימולציה שלה על מחשב ומעקב אחר התפתחותה שלב אחר שלב. סימולציות אלו מראות שכאשר מתרחשת אינטראקציה כזו, היא ממשיכה בשני שלבים: השלב הכאוטי שבו שלושת הגופים מושכים זה את זה בצורה אלימה, עד אשר כוכב אחד נפלט הרחק מהשניים האחרים המתמקמים למסלול בצורת אליפסה. אם הכוכב השלישי נמצא במסלול תחום, הוא יחזור בסופו של דבר לכיוון הצמד הנותר ומיד לאחר מכן יתרחש שוב השלב הראשון. ריקוד משולש זה מסתיים כאשר בשלב השני, אחד הכוכבים בורח למסלול לא תחום ולעולם אינו חוזר.

במאמר שפורסם לאחרונה ב-Physical Review X, הדוקטורנט יונדב ברי גינת ופרופ’ חגי פרץ מהפקולטה לפיזיקה בטכניון השתמשו באקראיות זו כדי לתת פתרון סטטיסטי לכלל התהליך בן שני השלבים. במקום לחזות את התוצאה בפועל הם חישבו את ההסתברות של כל תוצאה נתונה של כל האינטראקציה בשלב-1. כאוס משמעו שאומנם אי אפשר להגיע לפתרון מלא, אך טיבו האקראי מאפשר לחשב את ההסתברות שאינטראקציה משולשת תסתיים בצורה מסוימת ולא אחרת. לאחר מכן אפשר למדל את כל סדרת ההתקרבויות על ידי שימוש בסוג מסוים של מתמטיקה הידועה בשם “תאוריית ההליכה האקראית”, המכונה לעיתים “הליכת שיכור”. המונח קיבל את שמו ממתמטיקאים שחשבו כיצד הולך שיכור ולמעשה ראו בו תהליך אקראי – כאילו השיכור אינו מבין היכן הוא נמצא ולכן עושה כל פעם את הצעד הבא בכיוון אקראי כלשהו. המערכת המשולשת מתנהגת, ביסודה, בצורה דומה. לאחר כל מפגש קרוב, אחד הכוכבים נפלט באופן אקראי (אבל שלושת הכוכבים יחד עדיין שומרים על האנרגיה הכוללת והמומנטום של המערכת). אפשר לחשוב על סדרה של מפגשים קרובים אלה כעל הליכת שיכור. בדומה לצעד של שיכור, כוכב נפלט באקראי, חוזר, וכוכב אחר (או אותו כוכב) נפלט כנראה לכיוון אקראי שונה (בדומה לצעד נוסף שעושה השיכור) וחוזר, וכך הלאה, עד אשר כוכב נפלט לחלוטין ולעולם אינו חוזר (השיכור נופל לתעלה).

דרך נוספת לחשוב על כך היא להבחין בקווי הדמיון למזג האוויר. מזג האוויר מפגין גם הוא אותה תופעה של כאוס שגילה פואנקרה, ולכן קשה לחזות אותו. לכן חזאים צריכים להסתייע בתחזיות הסתברותיות (לדוגמה, לקבוע סיכוי של 70% לגשם מתוך ידיעה שייתכן יום שמש נפלא). יתרה מזאת, כדי לחזות את מזג האוויר לעוד שבוע מהיום, על החזאים לקחת בחשבון את ההסתברויות של כל סוגי מזג האוויר האפשריים בימים השונים, ורק על ידי חיבורם יחד הם מקבלים תחזית ארוכת טווח נאותה.

גינת ופרופ’ פרץ הראו במחקרם כיצד אפשר לעשות זאת בבעיית שלושת הגופים: הם חישבו את ההסתברות של כל תצורה בינארית-בודדת של שלב 2 (ההסתברות למציאת אנרגיות שונות, לדוגמה) ולאחר מכן חיברו את כל השלבים הבודדים, תוך שימוש בתיאוריית ההליכה האקראית, כדי למצוא את ההסתברות הסופית של כל תוצאה אפשרית, בדומה למה שעושים כדי לקבל תחזית מזג אוויר ארוכת טווח.

תמונת אילוסטרציה של מסלולי כוכבים במערכת כוכבים תלת-גופית

“חשבנו על מודל ההליכה האקראית בשנת 2017, כשהייתי סטודנט לתואר ראשון,” אומר גינת. “השתתפתי בקורס שפרופ’ פרץ לימד ובו הייתי צריך לכתוב מאמר על בעיית שלושת הגופים. לא פרסמנו אותו באותו זמן, אבל כאשר התחלתי בלימודי הדוקטורט, החלטנו להרחיב את המאמר ולפרסמו.”

בעיית שלושת הגופים נלמדה באופן עצמאי על ידי קבוצות מחקר שונות בשנים האחרונות. אחד המחקרים הוא של ניקולס סטון מהאוניברסיטה העברית בירושלים, נייתן לי שהיה בזמנו במוזיאון האמריקאי לתולדות הטבע, וברק קול, גם הוא מהאוניברסיטה העברית. כעת, הודות למחקרם הנוכחי של גינת ופרופ’ פרץ, האינטראקציה הרב-שלבית כולה נפתרה באופן סטטיסטי.

“יש לכך השלכות חשובות על האופן שבו אנו מבינים מערכות כוח כבידה, ובמיוחד מקרים שבהם מתרחשים מפגשים רבים בין שלושה כוכבים, כמו בצבירי כוכבים צפופים,” אומר פרופ’ פרץ. “באזורים כאלה, מערכות אקזוטיות רבות יוצרות מפגשים של שלושה גופים ומובילות להתנגשויות בין כוכבים ואובייקטים קומפקטיים כמו חורים שחורים, כוכבי נויטרונים וננסים לבנים שמייצרים גם הם גלי כוח כבידה שזוהו ישירות לראשונה רק בשנים האחרונות. הפתרון הסטטיסטי עשוי להוות שלב חשוב במידול ובחיזוי היווצרותן של מערכות כאלה.”

למודל ההליכה האקראית עשויים להיות שימושים נוספים: מחקרים על בעיית שלושת הגופים התייחסו עד כה לכוכבים בודדים כאל חלקיקי נקודה אידאליים. במציאות, כמובן, הם אינם כאלה, והמבנה הפנימי שלהם עשוי להשפיע על תנועתם, לדוגמה, בגאות ושפל. גאות ושפל בכדור הארץ נגרמים על ידי הירח ומשנים מעט את צורתו של כדור הארץ. החיכוך בין המים לבין יתר הכדור שלנו מפזר חלק מאנרגיית הגאות בצורה של חום. עם זאת, האנרגיה נשמרת, כך שחום זה חייב להגיע מאנרגיית הירח בתנועתו ביחס לכדור הארץ. בדומה לבעיית שלושת הגופים, גאות ושפל יכולים למשוך אנרגיה אורביטלית מחוץ לתנועת שלושת הגופים.

“מודל ההליכה האקראית מסביר תופעה זו באופן טבעי,” אמר גינת. “כל מה שצריך לעשות הוא להוציא את חום הגאות מסך כל האנרגיה בכל שלב, ולאחר מכן לחבר את כל השלבים. מצאנו שאנו יכולים לחשב את הסתברויות התוצאה גם במקרה הזה.” מתברר שהליכת שיכור יכולה לעתים לשפוך אור על כמה מהשאלות היסודיות ביותר בפיזיקה.

למאמר ב-Physical Review X לחצו כאן