פריצות דרך במתמטיקה באמצעות בינה מלאכותית – הייתכן?

בינה מלאכותית היא אמצעי המשנה את העולם במהירות – בעיבוד תמונה, בזיהוי דיבור, באבחון מחלות, בפיתוח תרופות חדשות, בתחבורה אוטונומית, בכתיבה ובתרגום, ואפילו בהפקה יצירתית של טקסטים, תמונות וסרטונים.

תורת המספרים היא תחום שעד כה לא זכה לתשומת לב רבה מצד חוקרי AI, וכאן נכנס לתמונה מאמר חדש של חוקרי הטכניון בקבוצה של פרופ’ עדו קמינר מהפקולטה להנדסת חשמל ומחשבים ע”ש ויטרבי. את המחקר הוביל רותם אלימלך, שהיה סטודנט לתואר ראשון בזמן שעבד על המחקר שהתפרסם כעת ב-PNAS, וכיום הוא סטודנט לתואר שני בפקולטה. החוקרים מסבירים כי “גילויים חדשים בתורת המספרים – למשל גילוי של נוסחאות של קבועים מתמטיים שלא היו ידועות – נחשבים לאתגר יצירתי שמצריך רגעי השראה אנושית, ולכן היה נהוג להניח שאין בתחום זה מקום לבינה מלאכותית.”

נהוג להניח – ושגוי. חוקרי הטכניון הציגו פריצת דרך בחיבור בין שני התחומים כבר לפני כשלוש שנים. בשנת 2021 הם פרסמו בכתב העת Nature “מחולל השְׁערות”‘ המייצר נוסחאות מתמטיות. את מחולל ההשערות הם כינו בשם “מכונת רמנג’ואן” על שמו של המתמטיקאי יליד הודו, מגדולי הגאונים המתמטיים בכל הזמנים. 

אחת מיכולותיו הנדירות של רמנג’ואן הייתה בניסוח נוסחאות מתמטיות באופן אינטואיטיבי וללא הוכחה. חוקרי הטכניון ביקשו לשחזר או לחקות את אותה אינטואיציה באמצעות אלגוריתמים וכוח מחשוב גדול. ואכן, המכונה החדשה הפיקה כמה השערות שחלקן היו מוכרות וחלקן חדשות לגמרי.

במאמר החדש שהתפרסם לאחרונה ב-PNAS מציגה קבוצת המחקר של פרופ’ קמינר את “מכונת רמנג’ואן 2.0“, הממוקדת בסוגיית היחסים בין הקבועים המתמטיים השונים ומראה איך תוצאות שפיתח מחשב מספקות קצות חוט למתמטיקאים. המחקר החדש הוא פריצת דרך בתחום הקרוי AI for Science – התקדמות מדעית באמצעות בינה מלאכותית. לדברי אלימלך ופרופ’ קמינר, “ברמה הפילוסופית, העבודה שלנו חוקרת את יחסי הגומלין בין אלגוריתמים ומתמטיקאים. המאמר החדש מראה כי אלגוריתמים אכן יכולים לספק את המידע הנחוץ לייצור תובנות יצירתיות ולהוביל לגילוי נוסחאות חדשות וקשרים חדשים בין קבועים מתמטיים.”

קבועים מתמטיים כגון פאי, קבוע אוילר, ויחס הזהב הם מספרים שמופיעים באופן טבעי בפיתוחים מתמטיים וערכם אינו משתנה. לרבים מהם יש ערך עצום לא רק במתמטיקה אלא גם בתחומים אחרים ובהם ביולוגיה, פיזיקה ואקולוגיה.

תמונתו של המתמטיקאי רמנג’ואן לצד נוסחה מסובכת שפיתח

העבודה על המשימה המקורית, גילוי קבועים חדשים, הניבה כמה “תוצרי לוואי” דרמטיים:

• הדגמת יעילותן של “מעבדות וירטואליות”, שבהן נערכים ניסויים במחשב המדמים ניסויים “פיזיים” במדעי הטבע. במעבדות אלה אפשר לייצר נוסחאות מתמטיות חדשות ואפילו השערות מתמטיות חדשות באמצעות אלגוריתמים. השערות שמתבססות על דוגמאות ומנסות להכליל אותן הן הכוח המניע של המחקר המתמטי. ככל שיש יותר דוגמאות התומכות בהשערה, כך היא מתחזקת וגדלים סיכוייה להיות נכונה.
• בתור דוגמה להצלחה כזו, החוקרים השתמשו בנוסחאות שגילה האלגוריתם כדי לבנות הוכחה פשוטה לאי רציונאליות של קבוע מפורסם שנקרא על שם רוג’ר אפרי, שהוכיח תכונה זו ב-1979. ההוכחה שלו ידועה כפריצת דרך מפתיעה, מבוססת על אינטואיציה יוצאת דופן בהשערה בת יותר מ-100 שנה, שעד עכשיו ההיגיון המתמטי מאחוריה היה מסורבל וקשה להבנה.
• הרחבת השימוש במחשוב מבוזר – מחשוב המושתת על יחידות מחשוב רבות (מחשבים רבים, מעבדים רבים). לדברי החוקרים, חלק מהתגליות המתמטיות אינן אפשריות בלי העוצמה הטמונה במחשוב מבוזר. בהיבט זה, שיתפו החוקרים פעולה עם פרופ’ מרק זילברשטיין מהפקולטה להנדסת חשמל ומחשבים ע”ש ויטרבי בטכניון ועשו שימוש בתשתית של חישוב מבוזר הנתמך על ידי אלפי מתנדבים מכל העולם ש”תרמו את מחשבם למדע” והריצו את האלגוריתם ותרמו לגילויי.
• מכונת רמנג’ואן החדשה, בשילוב המחשוב המבוזר, יכולה לשמש חוקרים אחרים בייצור אלגוריתמי-חיפוש המשרתים את מטרותיהם, כך שבכל מקרה שהאלגוריתם מצליח למצוא “קצה חוט”, הוא יסייע לכוון את המחקר של חוקרים אנושיים לבחינה של תופעות חדשות באזורים מבטיחים. 

במחקר השתתפו וולפרם ברנדט, קרלוס דה לה קרוז מנגואל, אופיר דוד, פרופ’ מרק זילברשטיין, ירון חדד, רתם קליש ומיכאל שליט.

למאמר ב-PNAS לחצו כאן